Question

定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：；且当x∈（-∞，0）时，f（x）＞0，回答下列问题：
（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由；
（3）若，试求的值．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数． …4
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1）且设x₁＜x₂

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，则
∴
∴函数在给定区间上递减． …8
（3）
∴，，
∴=1…12．
分析：（1）令x=y=0，y=-x，即可得出结论；
（2）利用函数单调性的证明步骤，可得结论；
（3）证明，代入计算，可得结论．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．