Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n=32n-n².

(1)求数列的通项公式a_n;

(2)求数列{|a_n|}的前n项和S_n′.

   

Answer 1

思路分析：本题考查数列的基础知识以及含绝对值的数列前n项和的求法.在求和前首先

要确定从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示.

    解:(1)当n=1时,a₁=S₁=31,

    当n＞1时,a_n=S_n-S_n-1=33-2n.

    显然n=1时,a₁=33-2×1=31,

∴a_n=33-2n,n∈N^*.

(2)当n≤16时,

S_n′=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|

=a₁+a₂+…+a_n

=(a₁+a_n)

=n(31+33-2n)

=32n-n²;

    当n＞16时,

S_n′=a₁+a₂+…+a₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n

=S₁₆-(S_n-S₁₆)

=2S₁₆-S_n

=512-32n+n².

    思维启示：①含有绝对值符号的数列,求其前n项和,解题的关键是根据实数绝对值的定义找到满足条件的分界值n(n∈N^*),即找到数列的转折项.②{a_n}成等差数列,但{|a_n|}不再成等差数列,应将{|a_n|}的前n项和转化为两个等差数列的求和问题.如本例中,当n＞16时,将S_n′转化为2S₁₆-S_n.