Question

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值为（　　）

• A、

  2010

  2011

• B、

  1005

  2011

• C、

  4020

  4021

• D、

  2010

  4021

Answer 1

分析：先利用函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，求出a；代入即可求出数列{

1

f(n)

}的通项公式，再利用错位相减法求和法即可求出S₂₀₁₀的值．

解答：解：因为f^′（x）=2ax：
所以f^′（1）=2a=8，得a=4．
所以f（x）=4x²-1，
故

1

f(n)

=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴s₂₀₁₀=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2×2010-1

-

1

2×2010+1

）]
=

1

2

（1-

1

2×2010+1

）=

2010

4021

故选：D．

点评：本题主要是对函数知识和数列知识的综合考查．解决本题的关键是利用函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，求出a的值以及错位相减法的应用．