Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，
PA=

3

，E为PC的中点．
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连AC、BD，由已知中PA⊥底面ABCD，结合面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥底面ABCD，进而再由面面垂直的性质得DO⊥平面PAC．连OE，则∠DEO即为DE与平面PAC所成的角，解三角形DEO即可得到直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）设AC∩BD=O，过O作OM⊥PC于M，结合已知中PA⊥底面ABCD，可得BD⊥PC，OM⊥PC，结合线面垂直的判定定理，可得此时PC⊥平面MBD成立．

解答：解：（1）如图，连AC、BD，则由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC，
又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC于O，∴DO⊥平面PAC．
连OE，则OE为DE在平面PAC上的射影，∴∠DEO即为DE与平面PAC所成的角．
由E为PC的中点可得EO=

1

2

PA=

3

2

．
又由菱形的性质可得，在Rt△AOD中，
∠ADO=60°，AD=1，∴DO=

1

2

．
∴在Rt△DEO中，tan∠DEO=

DO

EO

=

3

3

，
∴∠DEO=30°．
（2）设AC∩BD=O，过O作OM⊥PC于M，
则由PA⊥底面ABCD可得
平面PAC⊥底面ABCD于AC．
又BD⊥AC，BD?底面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
而由OM?平面PAC且OM⊥PC
可得PC⊥平面MBD．
故在线段PC上是存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．
此时OM∥AE，且OM=

1

2

AE=

1

4

PC=

6

4

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握直线与平面夹角的定义，及空间线线、线面垂直关系之间的互相转化是解答本题的关键．