Question

【题目】已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值为或．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的定义求出,,再求出的值,得出椭圆的标准方程；（2）联立直线,椭圆方程,由韦达定理求出两根之和,两根之积,由弦长公式求出的值,再由中垂线性质,中点坐标求出的值．

试题解析：（1）由已知，得，又，

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）由得 ①

∵直线与椭圆交于不同两点、，

∴，得，

设，，

∴．

又由，得，解得．

据题意知，点为线段的中垂心与直线的交点，

设的中点为，则，，

当时，，

此时，线段的中垂线方程为，即．

令，得．

当时，，

∴此时，线段中垂线方程为，即．

令，得．

综上所述，的值为或．