Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

a2n

a2n-1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n≤n+

5

3

．

Answer 1

分析：（1）令n=1、2、3代入题干中的式子，可得a₂，a₃，a₄，可以看出项与项之间有一定关系，n为偶数时令n=2mn为奇数时令n=2m-1关系中的下角码用m表示，两个关系式联立可得出一个特殊的数列，数列{a_2m-1+2}是公比为2的等比数列，可求解析式．
（2）验证一下n=1时，不等式成立，n≥2时，先把b_n的式子分离常数，后然利用放缩法先把b_n放大，分母亲变为等比数列的项，利用等比数列的前n项和公式求S_n．

解答：解：（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
∵a_n+1=

an+1 (n=2m-1，m∈N+)  2an(n=2m，m∈N+)

，∴

a2m+1=2a2m a2m=a2m-1+1

∴a_2m+1=2a_2m-1+2，∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），∴

a2m+1+2

a2m-1+2

=2
∴数列{a_2m-1+2}是公比为2的等比数列，∴a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1，
∴a_2m-1=-2+3•2^m-1（m∈N₊），a_2m=

1

2

a_2m+1=-1+3•2^m-1（m∈N₊），
∴a_n=

-2+3•2 n+1 2 -1 -1+3•2 n 2 -1

=

-2+3•2 n+1 2 -1(n为奇数) -1+3•2 n 2 -1  (n为偶数)

=

-2+3•2 n-1 2 (n为奇数) -1+3•2 n-2 2 (n为偶数)

．
（2）b_n=

-1+3•2n-1

-2+3•2n-1

=1+

1

-2+3•2n-1

=1+

1

2(-1+3•2n-2)

，
①当n=1时，S₁=b₁=2≤1+

5

3

，不等式成立；
②当n≥2时，-1+3•2^n-2≥2，∴0＜

1

-1+3•2n-2

＜1，
∵0＜

1

-1+3•2n-2

＜

1+1

(-1+3•2n-2)+1

=

2

3•2n-2

∴

1

2(-1+3•2n-2)

＜

1

3•2n-2

∴b_n＜1+

1

3•2n-2

=1+

4

3•2n

∴S_n＜2+（1+

4

3•22

）+（1+

4

3•23

）+…+（1+

4

3•2n

）
=n+1+

4

3

×

1 4

1- 1 2

（1-

1

2n-1

）=n+1+

2

3

（1-

1

2n-1

）
=n+

5

3

-

4

3•2n

＜n+

5

3

由①②知：S_n≤n+

5

3

．

点评：本题涉及知识点较多，三角函数，数列，不等式，考查学生的逻辑推理，抽象概括，综合运用能力．本题当中所求的通项公式，注意把项的角码n转化为m，令m可以取任意的正整数，然后代入关系，找特殊数列，利用放缩法证明不等式，伸缩性大，应用知识多，不易把握．