Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x（x≥0）}\\{x+{x}^{2}（x＜0）}\end{array}\right.$，对任意的x∈[0，1]恒有f（x-a）≤f（x）成立，则实数a=0、1或a≤-1．

Answer 1

分析 根据题意，作出f（x）的图象，f（x-a）≤f（x）成立即f（x-a）的图象在f（x）的图象的下方，分a=0、a＞0与a＜0三种情况讨论f（x）图象的变化，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，作出f（x）的图象，
f（x-a）≤f（x）恒成立即当自变量相同时，f（x-a）的图象一直在f（x）的图象的下方，
分析可得：
①、a=0时，f（x-a）=f（x），f（x-a）≤f（x）成立，符合条件；
②、当a＞0时，f（x-a）的图象为将f（x）的图象向右平移a个单位得到，
则必须有a=1，
③、当a＜0时，f（x-a）的图象为将f（x）的图象向左平移（-a）个单位得到，
则必须有a≤-1，
综合可得，a可取的值为0、1或a≤-1．

点评 本题考查分段函数的性质与应用，解题的关键是正确做出f（x）的图象并分析其左右平移的图象变化．