Question

20．设函数f（x）是奇函数，并在R上为增函数，当0≤θ＜$\frac{π}{2}$时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，利用函数的性质，我们可将0≤θ＜$\frac{π}{2}$时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立，结合正弦型函数的性质结合分析法，我们可得$\frac{1}{1-sinθ}$在0≤θ＜$\frac{π}{2}$时的最小值，进而将恒成立问题转化为最值问题，得到实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，
∴不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0可化为
f（msinθ）＞-f（1-m）
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜$\frac{1}{1-sinθ}$在0≤θ＜$\frac{π}{2}$时恒成立
∵0≤θ＜$\frac{π}{2}$时，1-sinθ的最大值为1，故$\frac{1}{1-sinθ}$的最小值为1
故m＜1
即实数m的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性及恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度为中档．