题目内容

已知：f（x）=2cos²x+ $数学公式$ （a∈R，a）为常数）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在x∈ $数学公式$ 上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（Ⅲ）在（2）条件下f（x）先按 $数学公式$ 平移后再经过伸缩变换后得到y=sinx．求 $数学公式$ ．

解：f（x）=2cos²x+ $\text{[math]}$ =（cos2x+1）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（3分）
（1）函数的最小正周期 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）根据题意， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（6分）
即 $\text{[math]}$ ，
∵最大值与最小值之和为3，
∴2a+3=3?a=0…（7分）
（3）由（2）得 $\text{[math]}$
∴函数y=f（x）先向右平移 $\text{[math]}$ 单位，再向下平移1个单位，可得y=2sin2x的图象…（9分）
最后将y=2sin2x图象上的点横坐标不变，纵坐标变换为原来的 $\text{[math]}$ ，可得y=sinx的图象，
∴向量 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）将函数解析式降幂，再用辅助角公式合并，得到 $\text{[math]}$ ，用函数y=Asin（ωx+φ）的周期的结论，可得f（x）的最小正周期；
（II）根据题意，得到 $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ ，得到函数f（x）的最大、最小值的和为2a+3=3，得到a的值为0；
（Ⅲ）在（2）条件下f（x）先向右平移 $\text{[math]}$ 单位，再向下平移1个单位，可得y=2sin2x的图象，由此可得向量 $\text{[math]}$ 坐标．
点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期及其求法，以及三角函数的最值．熟练运用三角函数的恒等变换公式把f（x）化为一个角的正弦函数是解决本题的关键．