Question

已知数列{a_n}的前项和Sn=n2+2n；
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）设Tn=

1

a1a

2+

1

a2a

3+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）数列的前n项和与第n项之间的关系，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁，由此求得数列的通项公式a_n．
（2）根据通项

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此利用裂项法对数列进行求和．

解答：解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1①． …（4分）
当n=1时，a1=S1=12+2×1=3，也满足①式…（6分）
所以数列的通项公式为  a_n=2n+1．（7分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)…（10分）
Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3(2n+3)

．…（14分）

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项之间的关系，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．