Question

记f（x）=ax²-bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（|t|+8）＜f（2+t²）．

Answer 1

【答案】分析：由已知不等式的解集及二次函数的性质，得到f（x）=a（x-1）（x-3），且a小于0，二次函数在[2，+∞）是增函数，由所求不等式自变量都大于等于2，利用增函数的性质列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围．
解答：解：由题意知f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）=a（x-1）（x-3），
且a＜0，二次函数在区间[2，+∞）是减函数，
又因为|t|+8＞8，2+t²≥2，
故由二次函数的单调性知不等式f（|t|+8）＜f（2+t²），
等价于|t|+8＞2+t²，
∴|t|²-|t|-6＜0，即（|t|-3）（|t|+2）＜0，
解得：0＜|t|＜3
解得：-3＜t＜3，且t≠0．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，以及其他不等式的解法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．