Question

已知直线y=mx（m∈R）与函数f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的图象恰好有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是

（

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：画出函数的图象，根据条件可得当直线y=mx和y=

1

2

x² 相交，把直线y=mx代入y=

1

2

x²，利用判别式△大于零，
求得实数m的取值范围．

解答：解：根据直线y=mx（m∈R）与函数f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的图象
恰好有三个不同的公共点，
在同一个坐标系中，画出直线y=mx（m∈R）与
函数f(x)=

2-( 1 2 )x(x≤0) 1 2 x2+1(x＞0)

的图象．
则由图象可得，当直线y=mx和y=

1

2

x² （x＞0）相交时，
直线y=mx和函数f（x）的图象（图中红线）有3个交点．
由

y=mx y= 1 2 •x2+1

 可得 x²-2mx+2=0，再由判别式△=4m²-8＞0，
求得m＞

2

，或 m＜-

2

 （舍去）．
故m的范围为 （

2

，+∞），
故答案为 （

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．