Question

如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA₁=,M为CC₁的中点,求证:AB₁⊥A₁M.

Answer 1

证明:如图,连结AC₁交A₁M于P,

∵∠BCA=90°,且BC⊥CC₁,

∴BC⊥平面AA₁C₁C.

又BC∥B₁C₁,从而有B₁C₁⊥平面AA₁C₁C.

∴AC₁是AB₁在平面AA₁C₁C上的射影.

设∠AC₁A₁=α,∠MA₁C₁=β,则tanα=,tanβ= .

∴α+β=90°,即AC₁⊥A₁M.

∴AB₁⊥A₁M.