Question

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率．
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
（1）直线l的方程为，其中．
联立 得 ．
解得，．
因为，所以-y₁=2y₂．即-=2 ，
解得离心率．（6分）
（2）因为，∴•．
由 得，所以，解得a=3，．
故椭圆C的方程为．（12分）

点评：本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是解题的难点．