题目内容
为了测试某种金属的热膨胀性能，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高40℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}用图象表示如图所示．若该金属在20℃～500℃之间，热膨胀性能与温度成一次函数关系，试根据图象回答下列问题：（Ⅰ）第3次量得金属棒的长度是多少米？此时金属棒的温度是多少？
（Ⅱ）求通项公式ln；
（Ⅲ）求金属棒的长度ln（单位：m）关于温度t（单位：℃）的函数关系式；
（Ⅳ）在30℃的条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？
分析：（Ⅰ）根据图象，可知第3次量得金属棒的长度；利用从100℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高40℃量一次，可得金属棒的温度；
（Ⅱ）{ln}组成以2.001为首项，0.001为公差的等差数列，故可得通项公式；
（Ⅲ）利用从100℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高40℃量一次，可得等差数列，利用（Ⅱ）的结论，考虑求得函数关系式；
（Ⅳ）根据△l=
+2-（
+2）=
，即可得到结论．
（Ⅱ）{ln}组成以2.001为首项，0.001为公差的等差数列，故可得通项公式；
（Ⅲ）利用从100℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高40℃量一次，可得等差数列，利用（Ⅱ）的结论，考虑求得函数关系式；
（Ⅳ）根据△l=
| 500-60 |
| 40000 |
| -30-60 |
| 40000 |
| 53 |
| 4000 |
解答：解：（Ⅰ）根据图象，可知第3次量得金属棒的长度是2.003；此时金属棒的温度是100+2×40=180°C
（Ⅱ）{ln}组成以2.001为首项，0.001为公差的等差数列，所以ln=2.001+（n-1）×0.001=0.001n+2
（Ⅲ）∵t=100+40（n-1）=40n+60
∴n=
∴ln=0.001n+2=
+2；
（Ⅳ）△l=
+2-（
+2）=
∴两块金属板之间至少要留出
米的空隙．
（Ⅱ）{ln}组成以2.001为首项，0.001为公差的等差数列，所以ln=2.001+（n-1）×0.001=0.001n+2
（Ⅲ）∵t=100+40（n-1）=40n+60
∴n=
| t-60 |
| 40 |
∴ln=0.001n+2=
| t-60 |
| 40000 |
（Ⅳ）△l=
| 500-60 |
| 40000 |
| -30-60 |
| 40000 |
| 53 |
| 4000 |
∴两块金属板之间至少要留出
| 53 |
| 2000 |
点评：本题考查数列模型的运用，考查学生的读图能力，解题的关键是构建等差数列模型．
练习册系列答案
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