Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-16，且f（x）有极大值28．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最小值；
（3）求函数f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx+c，∴f^′（x）=3ax²+b．
∵x=2是函数f（x）的极值点，∴x=-2也必是函数f（x）的极值点．
因此必有a＜0时或a＞0时．
解得a＜0时无解，a＞0时解得
∴a=1，b=-12，c=12．
（2）由（1）可知：f（x）=x³-12x+12，
f^′（x）=3（x+2）（x-2），
令f^′（x）=0，解得x=±2．
列表如下：
由表格可知：当x=2时，函数f（x）取得极小值，且f（2）=-4；又f（-3）=21．
∴函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值为-4．
（3）由（2）可知：f^′（1）=3×3×（-1）=-9，
又f（1）=1-12+12=1，∴切点为（1，1）．
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-1=-9（x-1），即9x+y-10=0．
分析：（1）通过求导，利用已知条件找出函数的另一个极值点，对a分类讨论即可得出；
（2）利用（1）的结论，把极值与区间端点出的函数值相比即可得出[-3，3]上的最大值；
（3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而即可得到切线的方程．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值与最值及分类讨论的思想方法是解题的关键．