题目内容

记数列{an}的前n项和为Sn，若{
Sn
an
}是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时d=______．
∵{
Sn
an
}是
S1
a1
=1为首项，d为公差的等差数列，
∴
Sn
an
=1+（n-1）d，
∴Sn=an+（n-1）dan，①
Sn-1=an-1+（n-2）dan-1．②
①-②得：
an=an+（n-1）dan-an-1-（n-2）dan-1，
整理可得
（n-1）dan-（n-1）dan-1=（1-d）an-1，
假设d=0，那么
Sn
an
=1，
S1=a1，S2=a1+a2=a2，
∴a1=0，∵a1为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设an的公差为d′，
所以有d′=
(1-d)an-1
(n-1)d
，
当d=1时，d′=0，an是以a1为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，an-1=（n-1）
d•d′
1-d
，
an-an-1=
d•d′
1-d
=d′，
∴d=
1
2
，
此时，an是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=
1
2
．
故答案为：1或
1
2
．
练习册系列答案
相关题目
记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n（n-1），则该数列是（　　）
A、公比为2的等比数列
B、公比为
1
2
的等比数列
C、公差为2的等差数列
D、公差为4的等差数列
已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．
（1）求证：数列{an+1-an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21-2n成立的最小整数n．
数列{an}的项是由1或0构成，且首项为1，在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个0，即数列{an}为：1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013=
45
45
．
已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2，公差为-2的等差数列am+1，am+2，…，a2m，构成首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列，其中m≥3，m∈N+，
（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N+，都有an+2m=an成立．
①当a27=
1
64
时，求m的值；
②记数列{an}的前n项和为Sn．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2009•闸北区一模）记数列{an}的前n项和为Sn，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{an}是等差数列，项数n为偶数，首项a1=1，公差d=
3
2
，且S″-S′=15，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，首项a1＞0，公差d∈N*，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列；
（3）若数列{an}的首项a1=1，满足2tSn+1-3（t-1）Sn=2t（n∈N*），其中实常数t∈(
3
5
，3)，且S′-S″=
5
2
，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

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