Question

已知a＞0，a≠1，设P：函数y=a^x在R上单调递减；Q：函数y=x²+（2a-3）x+1的图象与x轴至少有一个交点．如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质，函数y=a^x在R上单调递减，求出a的范围，根据二次函数的性质函数y=x²+（2a-3）x+1的图象与x轴至少有一个交点，根据根与系数的关系，求出a的范围，已知P与Q有且只有一个正确，进行分类讨论进行求解；

解答：解：函数y=a^x在R上单调递减?0＜a＜1；
函数y=x²+（2a-3）x+1的图象与x轴至少有一个交点，
即△=（2a-3）²-4≥0，解之得a≤

1

2

或a≥

5

2

．
（1）若P正确，Q不正确，
则a∈{a|0＜a＜1}∩{a|

1

2

＜a＜1或1＜a＜

5

2

}
即a∈{a|

1

2

＜a＜1}．
（2）若P不正确，Q正确，
则a∈{a|a＞1}∩{a|a≤

1

2

或a≥

5

2

}
即a∈{a|a≥

5

2

}
综上可知，所求a的取值范围是(

1

2

，1)∪[

5

2

，+∞)．

点评：此题主要考查二次函数的性质和指数函数的性质，考查了分类讨论的思想，是一道基础题；