Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx，x∈[

π

2

，π]．
（1）若sinx=

3

5

，求函数f(x)的值．
（2）求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将f（x）化为f（x）=

3

sinx-cosx，由已知，求出cosx后，代入求值
（2）f（x）=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），根据正弦函数的性质求取值范围．

解答：解：f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-2cosx
=

3

sinx-cosx①
=2sin（x-

π

6

）②
（1）若sinx=

3

5

，x∈[

π

2

，π]，则cosx=-

1-sin2x

=-

4

5

，
代入①得f（x）=

3

×

3

5

-（-

4

5

）=

3 3 +4

5

（2）当x∈[

π

2

，π]时，x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
sin（x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，其中当x-

π

6

=

5π

6

时取得最小值

1

2

，当x-

π

6

=

π

2

时，取得最大值1
所以f（x）∈[1，2]．

点评：本题考查三角函数式的恒等变形，正弦函数的性质．属于基础题．