题目内容
【题目】设函数
， 
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，记
的最小值为
，证明： 
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）函数
的定义域为
，对函数
求导得
，对实数
分
分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， 
， 
， 
，所以
单调递减，又
， 
，所以存在
，使得
，当
时， 
， 
单调递增；当
时， 
， 
单调递减；所以
，再证明出
。
试题解析（1）
的定义域为
，
，
当
时， 
， 
在
上单调递增；
当
时，当
， 
， 
单调递减；
当
， 
， 
单调递增；
综上，当
时， 
在
上单调递增；
当
时， 
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）知， 
，
即
.
解法一： 
， 
，
∴
单调递减，
又
， 
，所以存在
，使得
，
∴当
时， 
， 
单调递增；
当
时， 
， 
单调递减；
∴
，又
，即
， 
，
∴
，令
，则
在
上单调递增，
又
，所以
，∴
.
解法二：要证
，即证
，即证： 
，
令
，则只需证
，
，
当
时， 
， 
单调递减；
当
时， 
， 
单调递增；
所以
，
所以
，即
.
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小块地，在总共
小块地中．随机选
小块地种植品种甲，另外
小块地种植品种乙．
（
）假设
，求第一大块地都种植品种甲的概率．
（
）试验时每大块地分成
小块．即
，试验结束后得到品种甲和品种乙在各个小块地上的每公顷产量（单位
）如下表：
品种甲 |
|
|
|
|
|
品种乙 |
|
|
|
|
|
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
