Question

已知A(8,0)、B(0,6)和△AOB的内切圆：(x-2)²+(y-2)²=4,P(x,y)是圆上一点(如图所示)，

(1)求P点到直线l:4x+3y+11=0距离的最大值和最小值;

(2)若S=|PA|²+|PB|²+|PO|²，求S的最大值和最小值.

Answer 1

剖析：(1)设(x-2)²+(y-2)²=4的圆心为C，则C(2,2).由圆的几何性质知过C作l的垂线交圆于Q，交直线l于R，易求最大值和最小值.

(2)利用圆的参数方程可解.

解：(1)设圆(x-2)²+(y-2)²=4的圆心C(2,2)到l的距离为d，则d==5.

    ∴圆上的点到l的距离最大值、最小值分别为d₁=d+r=5+2=7,d₂=d-r=5-2=3.

    (2)设P(2+2cosα,2+2sinα),

    ∴S=|PA|²+|PB|²+|PO|²

    =(2cosα-6)²+(2+2sinα)²+(2+2cosα)²+(2sinα-4)²+(2+2cosα)²+(2+2sinα)²

    =80-4(2cosα+sinα)=80-4sin(α+φ).

    ∵α∈［0,2π］,∴S_max=80+4,S_min=80-4.

讲评：利用圆的几何性质和圆的参数方程来求有关最值较简单.