Question

已知函数f(x)=x²+bx+c（b，c∈R）是偶函数且f(0)=0。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）是否存在实数，使函数g(x)=1-λf(x)+(2λ-1)x在区间[-1，2]上的值域为？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1），∴c=0，
∴，
∵f(x)为偶函数，
∴f(-x)=f(x)，即对于任意x∈R恒成立，
∴2bx=0，即b=0，
∴f(x)=x²。
（2）由（1）得f（x）=x²，
∴g (x)=1-λx²+(2λ-1)x，
又，
∴，
故g(x)的对称轴为，
∵，
∴，∴，
∵对称轴，且x∈[-1，2 ]，图像开口向下，
∴，
依题意，
∴，解得：（舍去）或λ=2，
检验：当λ=2时，，
∵x∈[-1，2]，
∴x=时，；
x=-1时，，符合题意，
综上所述，得：λ=2。