Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意中f（x-2）=f（2+x），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）-log_ax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_ax+2=0恰有3个不同的实数解
则log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：＜a＜2，
即a的取值范围是（，2）；
故答案为（，2）．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题．