Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象顶点为（1，-9），且图象在x轴截得的线段长为6．
（Ⅰ）求f（2）；
（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+3）上单调，求m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（x）=ax²+bx+c=a（x-1）²-9，设f（x）=0的两个根分别为 x₁，x₂，再根据|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=6，求得a的值，可得f（x）的解析式，从而求得 f（2）的值．
（Ⅱ）①若f（x）在区间（m，m+3）上单调增，则 m≥1；②若f（x）在区间（m，m+3）上单调减，则m+3≤1，综合可得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx+c=a（x-1）²-9=ax²-2ax+a-9，
设f（x）=0的两个根分别为 x₁，x₂，∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=

a-9

a

．
再由图象在x轴截得的线段长为6，可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

4-4• a-9 a

=6，
求得a=1，故f（x）=x²-2x-8，∴f（2）=-8．
（Ⅱ）①若f（x）在区间（m，m+3）上单调增，则 m≥1，
②若f（x）在区间（m，m+3）上单调减，则m+3≤1，即 m≤-2．
综上：m≥1或m≤-2时，f（x）在区间（m，m+3）上单调．

点评：本题主要考查函数的单调性、求函数的解析式常用的方法，属于中档题．