Question

已知过函数f （x）=x²+bx图象上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0，数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n（n∈N^*），则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：根据所给的过一个点的切线方程，求导以后作出在这一点的导数，求出字母系数，得到数列的表示式，利用裂项做出数列的前n项和，求出极限．

解答：解：∵过函数f （x）=x²+bx图象上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0，
∴f^′（x）=2x+b，
∴2+b=3，
∴b=1，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1
故答案为：1．

点评：本题考查数列的极限，解题的关键是求出数列的前n项和，裂项法求前n项和的方法比较常见，注意数字的运算不要出错．