题目内容

已知A、B、C是直线l上的三点，向量
OA
、
OB
、
OC
满足：
OA
=[y+3xf′（1）]
OB
-2lnx•
OC
 则函数y=f（x）的表达式为
2lnx-
3
2
x+1
2lnx-
3
2
x+1
．
分析：利用 A、B、C共线时，
OA
=λ
OB
+（1-λ）
OC
，建立等式①，对①求导数得到 f′（1）的值，再把此值代入①求出f（x）的解析式．
解答：解：∵A、B、C是直线l上的三点，
向量
OA
、
OB
、
OC
满足：
OA
=[y+3xf′（1）]
OB
-2lnx•
OC
，
∴y+3xf′（1）-2lnx=1  ①，
对①求导数得 y′+3f′（1）-
2
x
=0，
∴f′（1）=
1
2
，代入①式的得：f（x）=2lnx-
3
2
x+1．
故答案为：2lnx-
3
2
x+1．
点评：本题考查三个向量共线的性质以及求函数的导数的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是直线l上的不同三点，O是l外一点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
，记y=f（x）；
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
6、已知a、b、c是直线，α是平面，给出下列命题：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a∥α，b?α，则a∥b；④若a⊥α，b?α，则a⊥b；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直．
其中真命题是
①④
．（把符合条件的序号都填上）
已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足：
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，a?α，α∩β=b则a‖b；
④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
其中真命题的序号是
②③
②③
．（要求写出所有真命题的序号）
已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量
OA
、
OB
、
OC
满足：
OA
=λ
OB
+μ
OC
，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三点共线且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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