Question

（理）（1）已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，函数f(x)=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P⊆Q，求实数a的取值范围；
（2）已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，函数f(x)=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决；
（2）P∩Q≠∅，则说明在[

1

2

，2]上至少存在一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0成立，进而转化为函数最值问题解决；

解答：解：（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立，
即不等式a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]上恒成立，
令u=

2

x

-

2

x2

，则只需a＞u_max即可．
又u=

2

x

-

2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
当x∈[

1

2

，2]时，

1

x

∈[

1

2

，2]，从而u∈[-4，

1

2

]，umax=

1

2

，
∴a＞

1

2

．所以实数a的取值范围是a＞

1

2

．
（2）若P∩Q≠∅，
则说明在[

1

2

，2]上至少存在一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0成立，
即在[

1

2

，2]上至少存在一个x值，使a＞

2

x

-

2

x2

成立，即只需a＞u_min即可．
由（1）知，u_min=-4，∴a＞-4．

点评：本题考查对数函数定义域的求解、集合运算及不等式恒成立问题，解决关键是恰当转化为函数最值．