Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣alnx+ （a∈R） （Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为x＞0 若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）
若a＞0时，令f'（x）＞0，得
即f（x）的单调区间为 ，减区间为
（Ⅱ）证明：设
则
∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
∴当x＞1，
【解析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）设 ，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．