Question

【题目】已知的两个顶点为，，平面内P，Q同时满足；；．

求顶点A的轨迹E的方程；

过点作两条互相垂直的直线，，直线，被点A的轨迹E截得的弦分别为，，设弦，的中点分别为M，试问：直线MN是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 直线MN过定点

【解析】

由已知向量等式可知P为三角形ABC的重心，设，则，再由，知Q是三角形ABC的外心，结合得

由列式求解顶点A的轨迹E的方程；

设出直线的方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，同理求得N的坐标，求得MN的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线MN过定点

解：，为三角形ABC的重心，设，则，

由，知Q是三角形ABC的外心，在x轴上，

又，

由，得，整理得．

，B，C三点不共线，

顶点A的轨迹方程为；

由知，为A的轨迹E的右焦点，

设，，

由，得．

则，，

．

由中点坐标公式得，

同理可求得

则当时，．

直线MN的方程为．

即．

直线MN过定点