Question

已知函数f(x)=a-

1

3x+1

（Ⅰ）若f（-1）=1，求a的值；
（Ⅱ）求证：无论a为何实数，f（x）总为增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数解析式f(x)=a-

1

3x+1

，及f（-1）=1，可得a-

1

1 3 +1

=1，由此求得a的值．
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，设x₁＜x₂，证明

△y=f(x2)-f(x1)

＞0，从而证得f（x）总为增函数．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=a-

1

3x+1

，f（-1）=1，
∴a-

1

1 3 +1

=1，
解得 a=

7

4

．--------（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=a-

1

3x+1

，设x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0．------（10分）

△y=f(x2)-f(x1)

=

(a- 1 3x2+1 )-(a- 1 3x1+1 )

 

= 1 3x1+1 - 1 3x2+1

 
=

1 3x1+1 - 1 3x2+1

=

3x2-3x1 (3x1+1)(3x2+1) = 3x2(1-3x1-x2) (3x1+1)(3x2+1)

．
∵x1-x2＜0，0＜3x1-x2＜1，
∴1-3x1-x2＞0，
∴△y＞0
∴无论a为何实数，f（x）总为增函数．-------（12分）

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式，用定义证明函数的单调性，属于中档题．