题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（I）求证：（ $数学公式$ ）是等差数列，并求出数列的{a_n}通项公式；
（II）数列{b_n}满足b_n=log₂ $数学公式$ 求使不等式（1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）…（1+ $数学公式$ ）≥m• $数学公式$ 对任意正整数n都成立的最大实数m的值．

解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，故数列{ $\text{[math]}$ }是公差为1的等差数列，（4分）
又S₁=2a₁-2²．则a₁=4，∴ $\text{[math]}$ ，
故a_n=（n+1）+2ⁿ．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₂ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（7分）
不等式（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）…（1+ $\text{[math]}$ ）≥m• $\text{[math]}$ ，
即（1+1）（1+ $\text{[math]}$ ）…（1+ $\text{[math]}$ ）≥m• $\text{[math]}$ 恒成立，
也即 $\text{[math]}$ 对任意正整数n都成立．（8分）
令 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当n∈N^*时，f（n）单调递增，（10分）
∴f（n）≥f（1）= $\text{[math]}$ ，则m $\text{[math]}$ ，故实数m的最大值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）利用S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，与S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．推出a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），然后证明数列{ $\text{[math]}$ }是公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用b_n=log₂ $\text{[math]}$ ，求出表达式，化简不等式（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）…（1+ $\text{[math]}$ ）≥m• $\text{[math]}$ ，通过令 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 的大小，说明f（n）单调递增，然后求出实数m的最大值．
点评：本题考查等差关系的确定，数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．