Question

已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．
（1）画出当a=2时的函数f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在R上具有单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，将函数写成分段函数，即可画出图象；
（2）利用绝对值的几何意义，将函数写成分段函数，利用函数f（x）在R上具有单调性，建立不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=|x+1|+2x=

3x+1，x≥-1 x-1，x＜-1

图象如右图所示
（2）由已知可得
f（x）=

(a+1)x+1，x≥-1 (a-1)x-1，x＜-1

  …（8分）
①当函数f（x）在R上单调递增时，
由

a+1＞0 a-1＞0 -(a+1)+1≥-(a-1)-1

可得a＞1
②当函数f（x）在R上单调递减时，
由

a+1＜0 a-1＜0 -(a+1)+1≤-(a-1)-1

可得a＜-1
综上可知，a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数图象的画法，考查绝对值的几何意义，正确写出分段函数是关键．