Question

已知数列{a_n}满足

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，且a₁=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=

1- an+1

n

，记T_n=

n

k=1

ck，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，可得数列{

1

1-an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵a₁=0，∴

1

1-a1

=1
∵

1

1-an+1

-

1

1-an

=1
∴数列{

1

1-an

}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴

1

1-an

=n，∴a_n=

n-1

n

；
（2）解：b_n=n•2ⁿa_n=（n-1）•2ⁿ，
∴S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ，
∴2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-S_n=1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹；
（3）证明：c_n=

1- an+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

n

k=1

ck=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∴T_n＜1．

点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．