Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D_l中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在线段AB上

(Ⅰ)求异面直线D₁E与A₁D所成的角；

(Ⅱ)若二面角D₁-EC—D的大小为45°，求点B到平面D₁EC的距离.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)连接AD₁.由已知,AA₁D₁D是正方形,有AD₁⊥A₁D.

∴AB⊥平面AA₁D₁D,∴AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影.

根据三垂线定理,得AD₁⊥D₁E,则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°.

(Ⅱ)作DF⊥CE,,垂足为F,连接D₁F,则CE⊥D₁F.所以∠DFD₁为二面角D₁-EC-D的平面角,∠DFD₁=45°.于是DF=DD₁=l,D₁F=.易得Rt△BCE≌Rt△CDF,所以CE=CD=2,又BC=1,

所以BE=. 

设点B到平面D₁EC的距离为h.

∴,即CE·D₁F·h=BE·BC·DD₁,

∴CE·D₁F·h=BE·BC·DD₁,即,∴h=故点B到平面D₁EC的距离为.

解法二：分别以DA、DB、DD₁为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

(Ⅰ)由A₁(1,0,1),得=(1,0,1).

设E(1,a,0),又D₁(0,0,1),则=(1,a,-1). 

∵=1+0-1=0,∴.

则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°. 

(Ⅱ)m=(0,0,1)为面DEC的法向量.

设n=(x,y,z)为面CED₁的法向量,则

|cos〈m,n〉|=cos45°=,

∴z²=x²+y².    ①

由C(0,2,0),得=(0,2,-1),则n⊥,即n·=0,

∴2y-z=0.  ②    由①,②,可取n=(,1,2).

又=(1,0,0),所以点B到平面D₁EC的距离

.