Question

设函数f(x)=x2-2lnx，h(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+mx+1，，若函数g（x）=f（x）-h′（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，则实数的m取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出函数g（x）的解析式，然后研究函数g（x）在[1，3]上的单调性，根据函数g（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)＞0

，最后解之即可．

解答：解；g(x)=f(x)-h′(x)=-2lnx+x-m∴g′ (x)=-

2

x

+1，
若g′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，g′（x）＜0；
当x∈（2，3]时，g′（x）＞0．
故g（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)≥0

∴

m≤1 m＞2-2ln2 m≤3-2ln3

∴2-2ln2＜m≤3-2ln3．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．