Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H为BC、CD、CC₁、C₁D₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁G⊥平面EFC₁；
（Ⅱ）求证：BH∥平面EFC₁．

Answer 1

分析：（I）以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，求出向量

EF

、

C1E

、

A1G

的坐标，然后根据数量积为零证得

A1G

⊥

EF

，

A1G

⊥

C1E

，从而证得结论；
（II）根据

BH

=

EF

-

C1E

，则

BH

、

EF

、

C1E

共面，又BH不在平面EFC₁内，根据线面平行的判定定理可知BH∥平面EFC₁．

解答：解：如图，建立坐标系D-xyz，设正方体的边长为2，则各点的坐标为：A₁（2，0，2）、B₁（2，2，2）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵

EF

=(-1，-1，0)，

C1E

=(1，0，-2)，

A1G

=(-2，2，-1)
∴

A1G

•

EF

=(-1，-1，0)•(-2，2，-1)=0
∴

A1G

⊥

EF

∵

A1G

•

C1E

=(1，0，-2)•(-2，2，-1)=0
∴

A1G

⊥

C1E

而EF∩C₁E=E
∴A₁G⊥平面EFC₁
（Ⅱ）∵

BH

=(0，1，2)-(2，2，0)=(-2，-1，2)=

EF

-

C1E

，
∴

BH

、

EF

、

C1E

共面．
又BH不在平面EFC₁内，∴BH∥平面EFC₁

点评：本题主要考查了利用空间向量的方法证明线面垂直，以及线面平行，同时考查了计算能力，属于中档题．