Question

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.

(1)求证:AD⊥PB;

(2)求证:DM∥平面PCB;

(3)求二面角A-BC-P的正切值

Answer 1

解法一:(1)证明:取AD的中点G,连结PG、GB、BD.

∵PA=PD,∴PG⊥AD.

∵AB=AD,且∠DAB=60°,

∴△ABD是正三角形,BG⊥AD.

∴AD⊥平面PGB.

∴AD⊥PB.

(2)证明:取PB的中点F,连结MF、CF,

∵M、F分别为PA、PB的中点,

∴MF∥AB,且MF=AB.

∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD且AB=2CD,

∴MF∥CD且MF=CD.

∴四边形CDFM是平行四边形.

∴DM∥CF.

∵CF平面PCB,

∴DM∥平面PCB.

(3)取BC的中点E,连结PE、GE.

∵四边形ABCD是直角梯形且AB∥CD,

∴GE∥AB,GE⊥BC.

∴BC⊥平面PEG.

∴BC⊥PE.

∴∠PEG是二面角ABCP的平面角.

设DC=a,则AB=AD=2a.

∵G、E分别为AD、BC中点,

∴GE===a.

∵G是等腰直角三角形PAD斜边的中点,

∴PG=AD=a.13分

∴tan∠PEG==.

∴二面角ABCP的正切值为.

解法二:(1)同解法一.

(2)证明:∵侧面PAD⊥底面ABCD,

又∵PG⊥AD,∴PG⊥底面ABCD.

∴PG⊥BG.

∵PG⊥AD,

∴直线AD、GB、GP两两互相垂直,故可以分别以直线AD、GB、GP为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz.

设PG=a,C(x,y,z),则可求得P(0,0,a),A(a,0,0),B(0,a,0),D(-a,0,0),则

=(0,0,a),=(-a,a,0),=(0,a,-a).

∵AB=2DC且AB∥CD,∴=2,

即(-a,a,0)=2［(x,y,z)-(-a,0,0)］.

∴(x,y,z)=(a,a,0),即C(a,a,0).∴BC=(a,a,0).

设n=(x₀,y₀,z₀)是平面PBC的法向量,则n·=0且n·=0.

∴

取y=,得n=(-1,,3).∵M是AP的中点,∴M(,0,).

∴=(,0,)-(-a,0,0)=(a,0,).

·n=(a,0,)·(-1, ,3)=0.

∴⊥n.∵平面PCB,∴DM∥平面PCB.

(3)∵PG⊥平面ABCD,∴GP是平面ABCD的法向量.

∴cos〈n,〉==.

∴tan〈n,〉=.∴二面角A-BC-P的正切值为.