Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=

1

2

AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
③求四面体D₁B₁AC的体积．

Answer 1

分析：①欲证D₁E∥平面ACB₁，根据线面平行的判定定理可知只需在平面ACB₁内找一直线与D₁E，连接DC₁，易证D₁E∥AB₁．因为AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，满足定理所需条件；
②欲证平面D₁B₁E⊥平面DCB₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁内找一直线垂直平面DCB₁，根据线面垂直的判定定理可知AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，满足定理所需条件；
③四面体D₁B₁AC可以看作将长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿它的四个面B₁AC、D₁AC、D₁B₁C、D₁B₁A将四面体D₁B₁AC以外的部分割去后得到．

解答：证明：①连接DC₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四边形，DC₁∥D₁E．
又因为AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四边形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．因为AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．
②连接AD₁、DA₁，则平面DCB₁即平面A₁B₁CD，
由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，CD⊥平面ADD₁A₁，所以CD⊥AD₁．
矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
即平面D₁B₁E⊥平面DCB₁
解：③四面体D₁B₁AC可以看作将长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿它的四个面B₁AC、D₁AC、D₁B₁C、D₁B₁A将四面体D₁B₁AC以外的部分割去后得到，所以，其体积V=1×1×2-4×(

1

3

×

1

2

×1×1×2)=

2

3

．

点评：这是深圳一模文数第18题，从中可以体会以下几点，一是依据判定定理整体思考、形成思路；二是通过图形变换，包括割、补、视图和射影等，建立试题各要素之间；三是将不规则图形向自己熟悉的规则图形（特别是长方形）转化，将基本空间图形原有的性质与试题条件有机结合，将试题要素“直接（直观）”地联系起来或凸显出来，使问题求解自然而然．