题目内容
已知数列{an}满足：a1=2且an+1=
（n∈N*）
（1）求证：数列{
-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
+
+
+…+
＜n+2（n∈N*）．
| 2(n+1)an |
| an+n |
（1）求证：数列{
| n |
| an |
（2）证明：
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 2 |
| a3 |
| 3 |
| an |
| n |
分析：（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，即anan+1+nan+1=2（n+1）an，故2(
-1)=
-1．由此能够数列{
-1}为等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．
（2）由
=1+
，知
+
+
+…+
≤n+
+
+
+…+
，由此能够证明
+
+
+…+
＜n+2（n∈N*）．
| n+1 |
| an+1 |
| n |
| an |
| n |
| an |
（2）由
| an |
| n |
| 1 |
| 2n-1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 2 |
| a3 |
| 3 |
| an |
| n |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 2 |
| a3 |
| 3 |
| an |
| n |
解答：（本小题满分14分）
解：（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，
即anan+1+nan+1=2（n+1）an，
故2(
-1)=
-1即数列{
-1}为等比数列，…（3分）
∴
-1=(-
)(
)n-1=-(
)n，
∴an=n+
…（7分）
（2）由（1）知
=1+
…（8分）
∴
+
+
+…+
≤n+
+
+
+…+
…（14分）
解：（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，
即anan+1+nan+1=2（n+1）an，
故2(
| n+1 |
| an+1 |
| n |
| an |
| n |
| an |
∴
| n |
| an |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴an=n+
| n |
| 2n-1 |
（2）由（1）知
| an |
| n |
| 1 |
| 2n-1 |
∴
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 2 |
| a3 |
| 3 |
| an |
| n |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-1 |
|
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列、不等式知识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
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