Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象C关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，3]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）图象关于原点对称，知对任意实数x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f'（x）=x²-1，令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，列表讨论，能求出当x∈[-2，3]时，函数f（x）的最大值．

解答：解． （1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，
∴3a+c=0且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1，
∴f(x)=

1

3

x3-x．
（2）∵f'（x）=x²-1，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
列表讨论：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）
fn（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值 2 3	↓	极小值- 2 3	↑

又f(-2)=-

2

3

，f（3）=6，
故当x=3时，f_max=6．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．