Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】分析：（1）先利用导数求函数，再证明. （2）把不等式恒成立转化为≥0，再利用导数求即得a的取值范围. (3)利用第（2）问的结论和分析法证明.

详解：（1）当时，，，

当时，；当时，

故在上单调递减，在上单调递增，

，.

（2），令，则.

①当时，在上，，单调递增，，即，在上为增函数，

，当时满足条件.

②当时，令，解得，在上，，单调递减，

当时，有，即 在上为减函数，，不合题意.

综上，实数的取值范围为.

（3）由（2）得，当，时，，即=，

欲证不等式，

只需证明，

只需证明，

只需证 ，

设，则.

当时，恒成立，且， 恒成立.

原不等式得证.