Question

下列四个命题中：
①a+b≥2

ab

；    
②sin2x+

4

sin2x

≥4；
③设x，y都是正数，若

1

x

+

9

y

=1，则x+y的最小值是12；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|＜2ε．
其中所有真命题的序号是

④

．

Answer 1

分析：对于①如a，b异号，a+b≥2

ab

不成立，对于②如sinx=0，则sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，③设x，y都是正数，若

1

x

+

9

y

=1，则x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

），在x+y上乘以

y

x

+

9x

y

，按照多项式的乘法展开，然后利用基本不等式求出最小值．④利用绝对值不等式：|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，即可进行判断．

解答：解：①如a，b异号，a+b≥2

ab

不成立，故错；    
②如sinx=0，则sin2x+

4

sin2x

≥4不成立，故错；
③设x，y都是正数，若

1

x

+

9

y

=1，则x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

y

x

+

9x

y

≥16，故x+y的最小值是16；故错；
④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|≤|x-2|+|y-2|＜2ε，故|x-y|＜2ε正确．
其中所有真命题的序号是 ④．
故答案为：④．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．