Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），求证：函数y=f（x）是奇函数．

Answer 1

分析：令a=b=0，结合已知可得f（0）=0，令a=x，b=-x，易得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．

解答：证明：令a=b=0
∵对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0
令a=x，b=-x
则f（a+b）=f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
即函数y=f（x）是奇函数．

点评：本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义，其中利用“凑配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的关键．