Question

在（x+2y-z）⁸的展开式中，所有x的指数为2且y的指数不为1的项的系数之和为

364

．

Answer 1

分析：根据题意，将（x+2y-z）⁸转化为[x+（2y-z）]⁸，由二项式定理可得x的指数为2的项为C₈²x²（2y-z）⁶，进而可得（2y-z）⁶展开式中各项系数之和，分析可得y的指数为1的项为C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，进而可得（2y-z）⁶展开式中y的指数不为1的各项系数之和为13，依据分步计数原理计算可得答案．

解答：解：在（x+2y-z）⁸的展开式中，所有x的指数为2的项为C₈²x²（2y-z）⁶，
（2y-z）⁶展开式中各项系数之和为（2×1-1）⁶=1，其中y的指数为1的项为C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，
故（2y-z）⁶展开式中y的指数不为1的各项系数之和为13．
所以在（x+2y-z）⁸的展开式中，所有x的指数为2且y的指数不为1的项的系数之和为C₈²×13=28×13=364；
故答案为364．

点评：本题考查二项式定理的应用，解本题的关键在于根据题意，将（x+2y-z）⁸转化为[x+（2y-z）]⁸，进而运用二项式定理来求解．