题目内容
如图,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(1)求证OD∥平面PAB;
(2)当k=
时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;
(3)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
(1)证明:∵O、D分别为AC、PC的中点,
∴OD∥PA.
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC.
又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC,
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,sin∠ODF=
,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
.
(3)解:由(2)知OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点,若点F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线.
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,∴PC⊥BD.
∴PB=BC,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O—PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
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