Question

在平面直角坐标系xOy中，F₁（-4，0），F₂（4，0），P是平面上一点，使三角形PF₁F₂的周长为18．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在点P₁、P₂，使得顺次连接点F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四边形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，请求出点P₁、P₂的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）利用椭圆的对称性和矩形的性质即可得出．

解答：解：（1）依题意，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=18，∴|F₁F₂|=8，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，
∴a=5，c=4，b=

52-42

=3，椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1，
∵PF₁F₂是三角形，点P不在直线F₁F₂上（即不在x轴上），
∴点P的轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．
（2）根据椭圆的对称性，F₁P₁F₂P₂是矩形当且仅当直线P₁P₂经过原点O，且∠F₁P₁F₂是直角，此时|OP1|=

1

2

|F1F2|=4（或kP1F1•kP1F2=-1），
设P₁（x，y），则

x2 25 + y2 9 =1 x2+y2=16

，解得

x2= 175 16 y2= 81 16

，

x=± 5 7 4 y=± 9 4

，
∴有2个这样的矩形F₁P₁F₂P₂，对应的点P₁、P₂分别为(

5 7

4

，

9

4

)、(-

5 7

4

，-

9

4

)或(-

5 7

4

，

9

4

)、(

5 7

4

，-

9

4

)．

点评：熟练掌握椭圆的定义、椭圆的对称性和矩形的性质是解题的关键．