Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，S_n=2a_n-1，结合递推公式a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

an-1

=2，结合等比数列的通项公式可求由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，可求公差d，进而可求b_n，
（2）由cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和可求T_n，然后结合数列的单调性可证

解答：解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 

an

an-1

=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（11分）Tn-Tn-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0
∴数列{T_n}是一个递增数列                                           …（12分）
∴Tn≥T1=

1

3

．…（13分）
综上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

…（14分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用