Question

【题目】设函数，．

（1）求的单调区间；

（2）判断方程在区间上是否有解？若有解，说明解得个数及依据；若无解，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）时，增区间为；时，区间为，减区间为；

（2）当时，无实数解；时，有且只有一个实数解．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后分、求得函数的单调区间；（2）首先结合（1）中函数的单调性知时，在上无实数解，然后分、、讨论函数的单调性，即可求得方程在区间上解的个数．

试题解析：（1），

时，，，

时，，，

，，

当时，的增区间为，此时无减区间，

当时，的增区间为，减区间为．

（2）由（1）知，当时，在上递增，且

时，在上无实数解．

（i）当时，，此时在上递增，

当时，在上也无实数解．

（ii）当时，在的最小值为

当时，在上也无实数解．

（iii）当时，在上递减，且

又

当时，在上有且只有一个实数解．

综上所述：

当时，在上无实数解，

当时，在上有且只有一个实数解．