已知空间向量OA=.|OA| ≤3.OB=.O为坐标原点.给出以下结论:①以OA.OB为邻边的平行四边形OACB中.当且仅当k=2时.|OC|取得最小值,②当k=2时.到A和点B等距离的动点P的轨迹方程为4x-2y-5=0.其轨迹是一条直线,③若OP=.则三棱锥O-ABP体积的最大值为76,④若OP=.则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概率为25．其中.所有正确结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2009•成都二模）已知空间向量

=(1，K，0)(k∈Z)，|

| ≤3，

=(3，1，0)，O为坐标原点，给出以下结论：①以OA、OB为邻边的平行四边形OACB中，当且仅当k=2时，|

|取得最小值；②当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为4x-2y-5=0，其轨迹是一条直线；③若

=(0，0，1)，则三棱锥O-ABP体积的最大值为

；④若

=（0，0，1），则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概率为

．其中，所有正确结论的应是

④

．

分析：对于①，利用向量加法的平行四边形法则得出

的坐标，从而求出|

|²=16+（k+1）²，当且仅当k=-1时，|

|取得最小值；故①错；对于②，当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为线段AB的中垂面，其轨迹是一个平面；故②错；③若

=(0，0，1)，要使得三棱锥O-ABP体积的最大，只须S_△OAB最大即可，下面求出其最大值即可．④若

=（0，0，1），则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形，只须在三角形OAB中，∠OAB为直角即可，再探讨在什么情况下其是直角结合概率公式计算即得．

解答：解：

=（1，k，0）+（3，1，0）=（4，k+1，0），
∴|

|²=16+（k+1）²，当且仅当k=-1时，|

|取得最小值；故①错；
对于②，当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为线段AB的中垂面，其轨迹是一个平面；故②错；
③若

=(0，0，1)，要使得三棱锥O-ABP体积的最大，
由于三棱锥O-ABP体积=

×|

|×S_△OAB=

S_△OAB，
故只须S_△OAB最大即可，
在xOy平面内考虑，

此时A（1，2），cos∠AOB=

•

，∴∠AOB=45°．
S_△OAB最大=

×|

|×|

|sin∠AOB=

sin45°=

．故错；
④若

=（0，0，1），则要使得三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形，
只须在三角形OAB中，∠OAB为直角即可，
如图，由于点A只能在M，N，S，P，Q五点取得，有5种取法，
而使得∠OAB为直角的点是M，Q，有2种取法，
则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概为

．正确．
其中，所有正确结论的应是④．
故答案为：④．

点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、三棱锥的几何特征、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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