Question

在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距离之和为2

2

，则a²+b²的最大值为

 

．

Answer 1

分析：利用点到直线的距离公式可得：|a-b|+|a+b-2|=4．通过分类讨论可知：点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．即可得到

a2+b2

最大值．

解答：解：∵动点P（a，b）到两直线l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距离之和为2

2

，
∴

|a-b|

2

+

|a+b-2|

2

=2

2

，
化为|a-b|+|a+b-2|=4．
分为以下4种情况：

a-b≥0 a+b-2≥0 a=3

或

a-b≥0 a+b-2＜0 b=-1

或

a-b≤0 a+b-2＞0 b=3

或

a-b≤0 a+b-2＜0 a=-1

．
可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．
可知：当取点A时，

a2+b2

取得最大值

32+32

=

18

．
∴a²+b²的最大值为18．
故答案为：18．

点评：本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．